2.1 Flytta genomsnittliga modeller (MA modeller) Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller rörliga genomsnittsvillkor. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln x t är ett fördröjt värde av x t. Till exempel är en lag 1-autoregressiv term x t-1 (multiplicerad med en koefficient). Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel (multiplicerat med en koefficient). Låt (wt overset N (0, sigma2w)), vilket betyder att w t är identiskt oberoende fördelade, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den första ordningens rörliga genomsnittsmodell, betecknad med MA (1) är (xt mu wt theta1w) Den andra ordens rörliga genomsnittsmodellen, betecknad med MA (2) är (xt mu wt theta1w theta2w) , betecknad med MA (q) är (xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw) Anm. Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta ändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den ändrar de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och (unsquared) termer i formler för ACF och variationer. Du måste kontrollera din programvara för att kontrollera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt beräkna den beräknade modellen. R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. Teoretiska egenskaper hos en tidsserie med en MA (1) modell Observera att det enda nonzero-värdet i teoretisk ACF är för lag 1. Alla andra autokorrelationer är 0. Således är ett prov ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA (1) modell. För intresserade studenter är bevis på dessa egenskaper en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA (1) modell är x t10 w t, 7 w t-1. Var (överskridande N (0,1)). Således är koefficienten 1 0,7. Den teoretiska ACF ges av En plot av denna ACF följer. Den visade ploten är den teoretiska ACF för en MA (1) med 1 0,7. I praktiken ger ett prov vanligen vanligtvis ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 provvärden med hjälp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 där vikt N (0,1). För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer. Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1. Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA (1), vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 . Ett annat prov skulle ha en något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda funktioner. Terapeutiska egenskaper hos en tids serie med en MA (2) modell För MA (2) modellen är teoretiska egenskaper följande: Observera att de enda nonzero-värdena i teoretisk ACF är för lags 1 och 2. Autokorrelationer för högre lags är 0 . En ACF med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA (2) modell. Iid N (0,1). Koefficienterna är 1 0,5 och 2 0,3. Eftersom det här är en MA (2), kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2. Värdena för de två icke-oberoende autokorrelationerna är A-plot av den teoretiska ACF följer. Såsom nästan alltid är fallet kommer provdata inte att fungera så perfekt som teori. Vi simulerade n 150 provvärden för modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Var vet N (0,1). Tidsserierna av data följer. Som med tidsserien för MA (1) provdata kan du inte berätta mycket för det. Provet ACF för den simulerade data följer. Mönstret är typiskt för situationer där en MA (2) modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke-signifikanta värden för andra lags. Observera att provet ACF på grund av provtagningsfel inte exakt matchade det teoretiska mönstret. ACF för General MA (q) Modeller En egenskap hos MA (q) modeller är generellt att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q-lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags gt q. Icke-unikhet av samband mellan värden på 1 och (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) - modellen, för något värde av 1. Den ömsesidiga 1 1 ger samma värde. Använd exempelvis 0,5 för 1. Och använd sedan 1 (0,5) 2 för 1. Du får (rho1) 0,4 i båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk restriktion kallad invertibility. Vi begränsar MA (1) - modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1. I exemplet just givet är 1 0,5 ett tillåtet parametervärde, medan 1 10,5 2 inte kommer att. Inverterbarhet av MA-modeller En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Med konvergeringen menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Omvändbarhet är en begränsning programmerad i tidsserierprogramvara som används för att uppskatta koefficienterna för modeller med MA-termer. Det är inte något vi söker efter i dataanalysen. Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA (1) - modeller ges i bilagan. Avancerad teorinotation. För en MA (q) modell med en specificerad ACF finns det endast en inverterbar modell. Det nödvändiga villkoret för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y-. - q y q 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R-kod för exemplen I exempel 1 ritade vi den teoretiska ACF av modellen x t10 wt. 7w t-1. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. R-kommandona användes för att plotta den teoretiska ACF: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 satser av ACF för MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) adderar en horisontell axel till plottet Det första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt Namnet acfma1 (vårt val av namn). Plot-kommandot (3: e kommandot) tomter jämförs med ACF-värdena för lags 1 till 10. ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern lägger en titel på plotten. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och tomterna gjordes med följande kommandon. xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simulerar n 150 värden från MA (1) xxc10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10. Simulering standardvärden betyder 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF för simulerad provdata) I exempel 2 ritade vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt5 w t-1, 3 w t-2. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data. De R-kommandon som användes var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, huvudsimulerad MA (2) serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF för simulerade MA (2) data) Bilaga: Bevis för egenskaper hos MA (1) För intresserade studenter, här är bevis för teoretiska egenskaper för MA (1) modellen. Varians: (text (xt) text (mu wt theta1 w) 0 text (wt) text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) När h 1, föregående uttryck 1 w 2. För varje h 2, föregående uttryck 0 . Orsaken är att, per definition av vägtons oberoende. E (w k w j) 0 för någon k j. Vidare, eftersom w t har medelvärdet 0, E (wjwj) E (wj2) w2. För en tidsserie, Applicera detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Visa väl omvändbarhet för MA (1) modellen. Vi ersätter sedan förhållandet (2) för w t-1 i ekvation (1) (3) (zt wt theta1 (z-tetww) wt theta1z-tet2w) Vid tid t-2. Ekvation (2) blir vi då ersättningsförhållande (4) för w t-2 i ekvation (3) (zt wt theta1z-teteta21w wt theta1z-teteta21 (z-tetww) wt theta1z-theta12z theta31w) Om vi skulle fortsätta Oändligt), skulle vi få oändlig ordning AR-modellen (zt wt theta1z-theta21z theta31z-tetaka41z punkter) Observera dock att om koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar (oändligt) i storlek när vi flyttar tillbaka i tid. För att förhindra detta behöver vi 1 lt1. Detta är förutsättningen för en inverterbar MA (1) modell. Oändlig ordning MA-modell I vecka 3 ser du att en AR (1) - modell kan konverteras till en oändlig ordning MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prickar phik1 w dots sum phij1w) Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd Som kausalrepresentation av en AR (1). Med andra ord är x t en speciell typ av MA med ett oändligt antal termer som går tillbaka i tiden. Detta kallas en oändlig ordning MA eller MA (). En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Minns i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR (1) är att 1 lt1. Låter beräkna Var (x t) med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver (phi1lt1) annars skiljer serien. NavigationDocumentation a är en konstant vektor av förskjutningar, med n element. A jag är n-en-matriser för varje jag. A i är autoregressiva matriser. Det finns p autoregressiva matriser. 949 t är en vektor av seriekorrelerade innovationer. Vektorer med längd n. 949 t är multivariata normala slumpmässiga vektorer med en kovariansmatris Q. Där Q är en identitetsmatris, om inget annat anges. Bj är n-by-n matriser för varje j. Bj förflyttar medelmatriserna. Det finns q glidande medelmatriser. X t är en n-by-matrix som representerar exogena termer vid varje tidpunkt t. R är antalet exogena serier. Exogena termer är data (eller andra ofördelade ingångar) förutom svarstidsserien y t. B är en konstant vektor av regressionskoefficienter med storlek r. Så produkten X t middotb är en vektor med storlek n. I allmänhet är tidsserierna y t och X t observerbara. Med andra ord, om du har data representerar den en eller båda serierna. Du vet inte alltid offset a. koefficient b. autoregressiva matriser A i. Och rörliga medelmatriser B j. Du vill vanligtvis anpassa dessa parametrar till dina data. Se vgxvarx-referenssidan för sätt att beräkna okända parametrar. Innovationerna 949 t är inte observerbara, åtminstone i data, även om de kan observeras i simuleringar. Lagoperatörsrepresentation Det finns en ekvivalent representation av de linjära autoregressiva ekvationerna i termer av lagoperatörer. Lagringsoperatören L flyttar tidsindexet tillbaka med en: L y t y t 82111. Operatören L m flyttar tidsindexet tillbaka med m. L m y t y t 8211 m. I fördröjningsoperatörsform blir ekvationen för en SVARMAX (p. Q. R) modell (A 0 x2212 x2211 i 1 p A i L i) a t X t b (B 0 x2211 j 1 q B j L j) x03B5 t. Denna ekvation kan skrivas som A (L) y t a X t b B (L) x03B5 t. En VAR-modell är stabil om det (I n x2212 A 1 z x2212 A 2 z 2 x2212 x2212 A pzp) x2260 0 x00A0x00A0forx00A0x00A0 z x2264 1. Detta villkor innebär att med alla innovationer lika med noll, konvergerar VAR-processen till en som tiden går vidare. Se Luumltkepohl 74 Kapitel 2 för en diskussion. En VMA-modell är omvändbar om det (I n B 1 z B 2 z 2. B q z q) x2260 0 x00A0x00A0forx00A0x00A0 z x2264 1. Detta villkor innebär att processen med ren VAR-representation av processen är stabil. För en förklaring av hur man konverterar mellan VAR - och VMA-modeller, se Ändra modellrepresentationer. Se Luumltkepohl 74 Kapitel 11 för en diskussion av inverterbara VMA-modeller. En VARMA-modell är stabil om dess VAR-del är stabil. På liknande sätt är en VARMA-modell inverterbar om dess VMA-del är inverterbar. Det finns ingen väldefinierad uppfattning om stabilitet eller inverterbarhet för modeller med exogena ingångar (t ex VARMAX-modeller). En exogen ingång kan destabilisera en modell. Att bygga VAR-modeller För att förstå en flera tidsseriemodell eller flera tidsseriedata utför du vanligtvis följande steg: Importera och förbehandla data. Ange en modell. Specifikationskonstruktioner utan parametervärden för att ange en modell när du vill MATLAB x00AE för att uppskatta parametrarna Specifikationstrukturer med valda parametervärden för att ange en modell där du känner till några parametrar och vill att MATLAB ska uppskatta de andra. Att bestämma ett lämpligt antal Lags för att bestämma Ett lämpligt antal lags för din modell Anpassa modellen till data. Montera Modeller till Data för att använda vgxvarx för att uppskatta de okända parametrarna i dina modeller. Det kan innebära: Ändra modellrepresentationer för att ändra din modell till en typ som vgxvarx hanterar Analysera och prognostisera med den monterade modellen. Detta kan innebära: Undersöka stabiliteten hos en monterad modell för att avgöra om din modell är stabil och inverterbar. VAR-modellprognoser kan prognostisera direkt från modeller eller förutspå med Monte Carlo-simulering. Beräkning av impulsreaktioner för att beräkna impulsresponser, vilket ger prognoser baserade på en antagen förändring av en ingång till en tidsserie. Jämför resultaten av dina modeller prognoser med data som hålls ut för prognoser. Se till exempel VAR Model Case Study. Din ansökan behöver inte involvera alla steg i detta arbetsflöde. Till exempel kanske du inte har några data, men vill simulera en parametrerad modell. I så fall skulle du bara utföra steg 2 och 4 i det generiska arbetsflödet. Du kan iterera genom några av dessa steg. Relaterade exempel Välj ditt land11.2: Vektor Autoregressiva modeller VAR (p) modeller VAR-modeller (vektorautoregressiva modeller) används för multivariata tidsserier. Strukturen är att varje variabel är en linjär funktion av tidigare lag av sig själv och tidigare lag av de andra variablerna. Som ett exempel antar vi att vi mäter tre olika tidsserievariabler, betecknade med (x), (x) och (x). Den vektorautoregressiva modellen i ordning 1, betecknad VAR (1), är följande: Varje variabel är en linjär funktion av lag 1-värdena för alla variabler i uppsättningen. I en VAR (2) - modell läggs lag 2-värdena för alla variabler till ekvations högra sidor. I fallet med tre x-variabler (eller tidsserier) skulle det finnas sex prediktorer på höger sida av varje ekvation , Tre lag 1 termer och tre fördröjning 2 termer. I allmänhet, för en VAR (p) modell, skulle de första p-lagren för varje variabel i systemet användas som regressionsprognoser för varje variabel. VAR-modeller är ett specifikt fall av mer generella VARMA-modeller. VARMA-modeller för multivariata tidsserier inkluderar VAR-strukturen ovan tillsammans med glidande medelvärden för varje variabel. Mer generellt men det här är speciella fall av ARMAX-modeller som tillåter tillägg av andra prediktorer som ligger utanför den multivariata uppsättningen huvudintresse. Här, som i avsnitt 5.8 i texten, fokuseras väl på VAR-modeller. På sidan 304 matchar författarna modellen med formuläret mathbf t Gamma mathbf t phi mathbf mathbf t där (mathbf t (1, t)) innehåller termer som samtidigt passar konstanten och trenden. Det härrörde från makroekonomiska data där stora förändringar i data permanent påverkar serumnivån. Det finns en inte så subtil skillnad här från tidigare lektioner genom att vi nu anpassar en modell till data som inte behöver vara stationära. I tidigare versioner av texten avgrände författarna separat varje serie med en linjär regression med t, tidsindexet som prediktorvariabeln. De de-trenderna värdena för var och en av de tre serierna är rester från denna linjära regression på t. Utlösningen är användbar konceptuellt eftersom den tar bort den gemensamma styrkraften som tiden kan ha på varje serie och skapad stationäritet som vi har sett i tidigare lektioner. Detta tillvägagångssätt resulterar i liknande koefficienter, men lite annorlunda eftersom vi nu samtidigt monterar avlyssningen och trenden tillsammans i en multivariabel OLS-modell. R fresh biblioteket författat av Bernhard Pfaff har förmågan att passa den här modellen med trend. Låt oss titta på 2 exempel: en differens-stationär modell och en trend-stationär modell. Skillnad-Stationär modell Exempel 5.10 från texten är en skillnadsstationsmodell, eftersom de första skillnaderna är stationära. Låt oss undersöka koden och exemplet från texten genom att montera modellen ovan: install. packages (vars) Om inte redan installerat install. packages (astsa) Om inte redan installerat bibliotek (vars) bibliotek (astsa) x cbind (cmort, tempr, del) plot. ts (x. main, xlab) sammanfattning (VAR (x, p1, typeboth)) De två första kommandona laddar de nödvändiga kommandon från vars bibliotek och nödvändiga data från vårt textbibliotek. Cbind-kommandot skapar en vektor av svarvariabler (ett nödvändigt steg för multivariata svar). VAR-kommandot gör uppskattning av AR-modeller med vanliga minsta kvadrater samtidigt som trenden, avlyssningen och ARIMA-modellen anpassas. Argumentet p 1 begär en AR (1) struktur och båda passar konstant och trend. Med vektorn av svar är det faktiskt en VAR (1). Följande är utmatningen från VAR-kommandot för variabeln tempr (texten ger output för cmort): Koefficienterna för en variabel anges i kolumnen Estimate. Den. l1 bifogade till varje variabelnamn indikerar att de är lag 1-variabler. Med användning av notering T temperatur, ttid (uppsamlat varje vecka), M-mortalitet och P-förorening, är ekvationen för temperaturen hatt t 67.586 - .007 t - 0.244 M 0.487 T - 0.128 P Ekvationen för dödligheten är hatt t 73.227 0.014 t 0,465 M - 0,361 T 0,099 P Ekvationen för förorening är hatt t 67.464 - .005 t - 0.125 M - 0.477 T 0.581 P. Kovariansmatrisen för restvärdena från VAR (1) för de tre variablerna skrivs under estimeringsresultaten. Avvikelserna ligger ner diagonalen och kan eventuellt användas för att jämföra denna modell med högre order VAR. Bestämningen av den matrisen används vid beräkningen av BIC-statistiken som kan användas för att jämföra modellens passform till passformen hos andra modeller (se formlerna 5,89 och 5,90 i texten). För ytterligare referenser om denna teknik se Analys av integrerade och samintegrerade tidsserier med R av Pfaff och även Campbell och Perron 1991. I exempel 5.11 på sidan 307 ger författarna resultat för en VAR (2) modell för data om dödligheten . I R kan du passa VAR (2) - modellen med kommandotalsammanfattningen (VAR (x, p2, typeboth)) Utgången, som visas med VAR-kommandot, är följande: Återigen anges koefficienterna för en viss variabel i kolumnen Uppskattning. Exempelvis är den beräknade ekvationen för temperaturen hatt t 49,88 - .005 t - 0,109 M 0,261 T 0,051 P - 0,041 M 0,356 T 0,095 P Vi diskuterar informationskriteriedata för att jämföra VAR-modeller av olika order i läxan. Residualer är också tillgängliga för analys. Om vi till exempel tilldelar VAR-kommandot till ett objekt med titeln fitvar2 i vårt program, har fitvar2 VAR (x, p2, typeboth) tillgång till matrisreserverna (fitvar2). Denna matris har tre kolumner, en kolumn med rester för varje variabel. Till exempel kan vi använda för att se ACF av resterna för dödlighet efter anpassning av VAR (2) modellen. Följande är ACF som berodde på kommandot som just beskrivits. Det ser bra ut för en återstående ACF. (Den stora spetsen i början är den obetydliga fördröjningen 0 korrelationen.) Följande två kommandon skapar ACF för resterna för de andra två variablerna. De liknar också vitt brus. Vi kan också undersöka dessa tomter i korrelationsmatrisen som tillhandahålls av acf (residualer (fitvar2)): Ploterna längs diagonalen är de enskilda ACF-värdena för varje modellrester som vi just diskuterat ovan. Dessutom ser vi nu korskorrelationsdiagrammen för varje uppsättning av rester. Idealt sett skulle dessa också likna vitt brus, men vi ser återstående korrelationer, särskilt mellan temperatur och förorening. Som våra författare noterar tar den här modellen inte tillfredsställande fullständig koppling mellan dessa variabler i tid. Trend-Stationary Model Lets utforska ett exempel där originaldata är stationära och undersöka VAR-koden genom att montera modellen ovan med både en konstant och trend. Med hjälp av R simulerade vi n 500 provvärden med VAR (2) - modellen. Använd VAR-kommandot som förklaras ovan: y1scan (var2daty1.dat) y2scan (var2daty2.dat) sammanfattning (VAR (bind (y1, y2), p2, typeboth) ) Vi får följande resultat: Uppskattningarna ligger mycket nära de simulerade koefficienterna och trenden är inte signifikant, som förväntat. För stationär data, när avstängning är onödig, kan du också använda ar. ols-kommandot för att passa en VAR-modell: fitvar2 ar. ols (binda (y1, y2), order2) I den första matrisen ges läs över en rad för att få koefficienterna för en variabel. De föregående kommatecken följda av 1 eller 2 anger huruvida koefficienterna är lag 1 respektive 2 för variabler. Avlyssningarna av ekvationerna ges under x. intercept en avlyssning per variabel. Matrisen under var. pred ger varians-kovariansmatrisen för resterna från VAR (2) för de två variablerna. Avvikelserna ligger nere i diagonalen och kan eventuellt användas för att jämföra denna modell med högre ordning VAR enligt ovan. Standardfel av AR-koefficienterna ges av fitvar2asy. se. coef-kommandot. Utgången är som med koefficienterna, läs över rader. Den första raden ger standardfel av koefficienterna för de 1-variabler som förutspår y1. Den andra raden ger standardfel för koefficienterna som förutspår y2. Du kan notera att koefficienterna ligger nära VAR-kommandot utom avlyssningen. Detta beror på att ar. ols uppskattar modellen för x-mean (x). För att matcha avlyssningen som tillhandahålls av sammanfattningen (VAR (cbind (y1, y2), p2, typeconst)), måste du beräkna avlyssningen enligt följande: I vårt exempel är interceptet för den simulerade modellen för yt, 1 lika med -0,043637 -2.733607 (1-0.29300.4523) 15.45479 (-0.1913-0.6365) 9.580768, och den uppskattade ekvationen för yt, 1 Uppskattning med Minitab för Minitab-användare, här är det allmänna flödet av vad man ska göra. Läs data i kolumner. Använd Time Series gt Lag för att skapa de nödvändiga fördröjda kolumnerna för de stationära värdena. Använd Stat gt ANOVA gt General MANOVA. Ange listan över nuvarande tidsvariabler som svarvariablerna. Ange de fördröjda x-variablerna som kovariater (och som modell). Klicka på Resultat och välj Univariate Analysis (för att se de uppskattade regressionskoefficienterna för varje ekvation). Om så önskas, klicka på Lagring och välj Residuals andor Fits. NavigationMoving-Average Representation of Autoregressive Approximations Vi studerar egenskaperna hos en oändlig MA-representation av en autoregressiv approximation för en stationär, verkligt värderad process. Därmed ger vi en utvidgning av Wieners teorem i den deterministiska approximationsuppsättningen. När vi hanterar data kan vi använda det här nya nyckelresultatet för att få insikt i strukturen av oändliga MA-representationer av utrustade autoregressiva modeller där ordern ökar med provstorleken. I synnerhet ger vi en enhetlig bunden för att uppskatta de rörliga genomsnittliga koefficienterna via autoregressiv approximation som är likformig över alla heltal. 423.pdf
No comments:
Post a Comment